Смешанное произведение векторов
Определение. Смешанным произведением векторов а, b и с называется число, равное скалярному произведению вектора а на вектор, равный векторному произведению векторов b и с.Обозначается аЧbЧс или (а, b, c).
Смешанное произведение аЧbЧс по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с.
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарные;
в) векторы компланарны.
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами а, b и с, равен
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
Найдем координаты векторов, затем найдем смешанное произведение полученных векторов:
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем координаты векторов и объем пирамиды:
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD
