Алгебра :: Векторная алгебра :: Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. aЧb = |a|Ч|b|cosf

Свойства скалярного произведения

1) aЧа = |a|²;
2) aЧb = 0, если a^b или a = 0 или b = 0;
3) aЧb = bЧa;
4) aЧ(b + c) = aЧb + aЧc;
5) a(mb) = b(ma) = m(ab); m=const

Если рассматривать векторы a(х_a; у_a; z_a); b(х_b; у_b; z_b) в декартовой прямоугольной системе координат, то

aЧb = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:
косинус угла между векторами

Пример. Найти (5a + 3b)(2a - b), если |a|=2, |b|=3, a^b
10aa - 5ab + 6ab - 3bb = 10|a|²-3|b|² = 40 - 27 = 13, т.к.

Пример. Найти угол между векторами a и b, если
решение

Пример. Найти скалярное произведение (3a - 2b) (5a - 6b), если |a|=4, |b|=6, a^b=p/3
15aa - 18ab - 10ab + 12bb = 15|a|² - 28|a||b|cosp/3 + 12|b|² = 15Ч16 - 28Ч4Ч6Ч1/2 + 12Ч36 = 240 - 336 + 432 = 672 - 336 = 336.

Пример. Найти угол между векторами
решение

Пример. При каком m векторы
решение

Пример. Найти скалярное произведение векторов
решение