Свойства векторов1) a + b= b + a - коммутативность.2) a + (b + c) = (a + b) + c 3) a + 0 = a 4) a +(-1)a = 0 5) (aЧb)a = a(ba) - ассоциативность 6) (a+b)а = aaа + ba - дистрибутивность 7) a(a + b) = aa + ab 8) 1Чa = a БазисОпределение.1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке. 2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке. 3) Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор. Определение. Если e1, e2, e3 - базис в пространстве и a = ae1 + be2 + ge3, то числа a, b, g - называются компонентами или координатами вектора a в этом базисе. В связи с этим можно записать следующие свойства: - равные векторы имеют одинаковые координаты, - при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число, la = l(ae1 + be2 + ge3) = lae1 + lbe2 + lge3 - при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты. a = a1e1 + a2e2 + a3e3
b = b1e1 + b2e2 + b3e3 a+b = (a1+b1)e1 + (a2+b2)e2 + (a3+b3)e3 Линейная зависимость векторовОпределение. Векторы a1, ..., an называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация a1a1 + a2a2 +...+ anan, при не равных нулю одновременно ai , т.е. a12+a22+...+an2.Если же только при ai = 0 выполняется a1a1 + a2a2 +...+ anan, то векторы называются линейно независимыми. Свойство 1. Если среди векторов ai есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима. Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов. Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны. Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны. Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы. |