Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) - основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и Q (1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у - z + 5 = 0.
Вектор нормали к плоскости 3х + 2у - z + 5 = 0 N=(3; 2; -1) параллелен искомой плоскости.
Получаем:
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z - 3 = 0.
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости n1(A, B, C). Вектор AB(1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали n2(1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то
Таким образом, вектор нормали n1(11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11 2 + 7 1 - 2 4 + D = 0; D = -21.
Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y - 2z - 21 = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) - основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Находим координаты вектора нормали OP = (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x - 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:
16 + 9 + 144 + D = 0
D = -169
Итого, получаем искомое уравнение: 4x - 3y + 12z - 169 = 0D = -169
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1), A4(1; 2; 5).
1) Найти длину ребра А1А2
3) Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3
Сначала найдем вектор нормали к грани А1А2А3 N как векторное произведение векторов A1A3 и A1A2.
A1A3 = (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
