Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Для того, чтобы через три какие-либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.
Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости
Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор a=(a1, a2, a3).Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору a.
Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости
Пусть заданы два вектора a=(a1, a2, a3) и b=(b1, b2, b3), коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы a, b, MM1 должны быть компланарны.Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали
Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали N(A, B, C) имеет вид:A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор М0М=(х - х0, у - у0, z - z0). Т.к. вектор N - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору М0М. Тогда скалярное произведение М0МЧN=0Таким образом, получаем уравнение плоскости
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Теорема доказана.