Алгебра :: Определенный интеграл

Определенный интеграл

Формула Ньютона-Лейбница

Разность значений первообразной для функции f в точках b и a называют определенным интегралом этой функции от a до b.
Определенный интеграл функции f от a до b обозначают так:

и читают: "Определенный интеграл от а до бэ эф от икс дэ икс". Числа a и b называют пределами интегрирования (а - нижним, b - верхним), знак ò - знаком интеграла. Если а<b, то отрезок [a;b] называют отрезком интегрирования и вместо "интеграл от a до b" говорят "интеграл по отрезку [a;b]". Функцию f называют подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.
Итак, по определению имеем:

где F - одна из первообразных функции f. Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b)-F(a) для краткости обозначают так: F(x)|_a^b. Значит,

Свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак:

2. Для любого значения а справедливо равенство:

3. Для любых значений а, b и с верно равенство:

Следующие свойства вытекают из свойств первообразной:
4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов слагаемых

5. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

Площадь криволинейной трапеции

Теорема Ньютона-Лейбница. Пусть функция f не отрицательна, непрерывна на отрезке [a;b] и имеет на нем конечное число экстремумов. Обозначим через S(x) площадь криволинейной трапеции, расположенной над отрезком [a;x], где а£x£b, и ограниченной сверху графиком функции f. Тогда S(x) является первообразной для f(x), т.е. на отрезке [a;b] выполняется равенство S'(x)=f(x). Значит, площадь криволинейной трапеции находится по формуле:

Для существования первообразной у функции f достаточно, чтобы эта функция была непрерывна на отрезке [a;b].
Теорема. Любая функция f, непрерывная на отрезке [a;b] и имеющая на нем конечное количество экстремумов, имеет на этом отрезке первообразную.

Объем тел вращения

Теорема. Если функция f непрерывна и неотрицательна на отрезке [a;b], то объем V тела, полученного при вращении соответствующей криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, выражаются формулой:

Пример. Найдем объем шара радиуса R. Решение. Шар получается при вращении вокруг оси абсцисс полукруга. Уравнение полуокружности имеет вид:

Поэтому