Операция умножения матриц
Определение. Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:AЧB = C;
Свойства операции умножения матриц.
1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ¹ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких-либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.
АЧЕ = ЕЧА = А
Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
AЧO = O; OЧA = O,
где О - нулевая матрица.2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:
А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:
(А + В)С = АС + ВС.
a(AB) = (aA)B = A(aB).
5) Если определено произведение АВ, то определено произведение ВтАт и выполняется равенство:
(АВ)т = ВтАт, где
индексом Т обозначается транспонированная матрица.6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAЧdetB.