Алгебра :: Матрица :: Обратная матрица

Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.
Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

i=(1,n), j=(1,n),
e_ij = 0, i ¹ j,
e_ij = 1, i = j .
Таким образом, получаем систему уравнений:

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.
Пример. Дана матрица А =

, найти А^-1.

Таким образом, А^-1=

.
Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

где М_ji- дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.
Пример. Дана матрица А =

, найти А^-1.
det A = 4 - 6 = -2.
M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1
x₁₁= -2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= -1/2
Таким образом, А^-1=

.
Cвойства обратных матриц
Укажем следующие свойства обратных матриц:
1) (A-1)-1 = A;
2) (AB)^-1 = B^-1A^-1
3) (A^т)^-1 = (A^-1)^т.
Пример. Дана матрица А =

, найти А³.

Отметим, что матрицы

являются перестановочными.
Пример. Вычислить определитель
решение

Значение определителя: -10 + 6 - 40 = -44.